જો સદિશ $\overline{c}$ એ $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ ના સમતલમાં હોય,જ્યાં $\overline{a}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\overline{c}=x\hat{i}-(2-x)\hat{j}-\hat{k}$ હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\bar{a}=\lambda \bar{i}+3 \bar{j}+4 \bar{k}$, $\bar{b}=3 \bar{i}-\bar{j}+\lambda \bar{k}$ અને $\bar{c}=\lambda \bar{i}+\bar{j}-3 \bar{k}$ એ કોઈ પૂર્ણાંક $\lambda$ માટે ત્રણ સદિશો છે. જો $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ ધારવાળા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $61$ ઘન એકમ હોય, તો $\lambda$ ના શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા કેટલી છે?

$\mu$ ના એવા ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સરવાળો શોધો જેના માટે સદિશો $\mu \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{i} + \mu \hat{j} + \hat{k}$,અને $\hat{i} + \hat{j} + \mu \hat{k}$ સમતલીય હોય.

ધારો કે $OA, OB, OC$ એ $V$ ઘનફળ ધરાવતા લંબઘન સમાંતરફલક (rectangular parallelopiped) ની સહ-અંતિમ ધાર છે અને $P$ એ $O$ ની સામેનો શિરોબિંદુ છે. તો, $[\overrightarrow{AP} \overrightarrow{BP} \overrightarrow{CP}]$ ની કિંમત શોધો.

$O \equiv (0,0,0)$, $A \equiv (2,-2,1)$, $B \equiv (5,-4,4)$ અને $C \equiv (1,-2,4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા સમાંતરફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ શોધો. ($\text{ઘન એકમ}$ માં)

જો સદિશો $\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}+3 \overrightarrow{c}$,$-2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}-4 \overrightarrow{c}$ અને $\overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}+5 \overrightarrow{c}$ સમતલીય હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.