यदि सदिश $\vec{AB} = p \hat{i} + q \hat{j} + r \hat{k}$, $\vec{AC} = s \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$, और $\vec{CB} = 3 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$ एक $\triangle ABC$ बनाते हैं, तो $p, q, r$ और $s$ के मान ज्ञात कीजिए ताकि उस $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $5 \sqrt{6}$ हो।

मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः $3, 4$ और $5$ परिमाण वाले सदिश हैं और $a + b + c = 0$ है। तो $a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक बल $\vec{F} = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ द्वारा विस्थापन सदिश $\vec{d} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$ के साथ गतिमान वस्तु पर किया गया कार्य ............ इकाई है।

एक आयत जिसके शीर्ष $A, B, C$ और $D$ हैं, जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $-\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} + 4\hat{k}$, $\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} + 4\hat{k}$, $\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} + 4\hat{k}$ और $-\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} + 4\hat{k}$ हैं, का क्षेत्रफल . . . . . . है।

मान लीजिए $\overrightarrow{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,और $\overrightarrow{b}$ तथा $\overrightarrow{c}$ दो शून्येतर सदिश इस प्रकार हैं कि $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = |\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|$ और $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ है। निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
$(A)$ सभी $\lambda \in R$ के लिए $|\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{c}| \geq |\overrightarrow{a}|$.
$(B)$ $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{c}$ हमेशा समांतर हैं।

एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की दो आसन्न भुजाएँ $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ और $\overrightarrow{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ द्वारा दी गई हैं। भुजा $AD$ को समांतर चतुर्भुज के तल में एक न्यून कोण $\alpha$ द्वारा घुमाया जाता है ताकि $AD$,$AD'$ बन जाए। यदि $AD'$,भुजा $AB$ के साथ समकोण बनाता है,तो कोण $\alpha$ का कोसाइन (cosine) क्या होगा?