यदि सदिश vec{alpha}=hat{i}+a hat{j}+a^{2} hat | vedclass

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Question

(C) दिए गए सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1+a^{3} \ b & b^{2} & 1+b^{3} \ c & c^{2} & 1+c^{3}\end{array}ight|=0$ तीसरे स्तंभ

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$-1$

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(C) दिए गए सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1+a^{3} \ b & b^{2} & 1+b^{3} \ c & c^{2} & 1+c^{3}\end{array}ight|=0$ तीसरे स्तंभ को अलग करने पर: $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \ b & b^{2} & 1 \ c & c^{2} & 1\end{array}ight| + \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & a^{3} \ b & b^{2} & b^{3} \ c & c^{2} & c^{3}\end{array}ight| = 0$ दूसरे सारणिक से $abc$ कॉमन लेने पर: $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \ b & b^{2} & 1 \ c & c^{2} & 1\end{array}ight| + abc \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \ b & b^{2} & 1 \ c & c^{2} & 1\end{array}ight| = 0$ $(1+abc) \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \ b & b^{2} & 1 \ c & c^{2} & 1\end{array}ight| = 0$ चूंकि $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ असमतलीय हैं, इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य नहीं है। सारणिक $\left|\begin{array}{lll}1 & a & a^{2} \ 1 & b & b^{2} \ 1 & c & c^{2}\end{array}ight|$ का मान शून्य नहीं है। अतः, $1+abc = 0$, जिसका अर्थ है कि $abc = -1$।

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यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & 1 & 0 \\ 0 & 2 \cos x & 3 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$ है,तो $\lim_{x \rightarrow \pi} f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\Delta(x) = \begin{vmatrix} x-2 & (x-1)^2 & x^3 \\ x-1 & x^2 & (x+1)^3 \\ x & (x+1)^2 & (x+2)^3 \end{vmatrix}$ है, तो $\Delta(x)$ में $x$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

आव्यूह $\begin{bmatrix} 3 & 5 & -1 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & -2 \\ 8 & 11 & 1 & 6 \\ -7 & -14 & 6 & -14 \end{bmatrix}$ की कोटि (Rank) है:

यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} -\sin x & 2 \sin 2x & 4 \cos^2 x \\ \cos x & 4 \sin^2 x & 2 \sin 2x \\ 0 & -\cos x & \sin x \end{array} \right|$ है, तो $f\left(\frac{5\pi}{4}\right) + f'\left(\frac{5\pi}{4}\right) = $

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