यदि $\triangle ABC$ के शीर्ष $A=(2,3,5)$,$B=(-1,3,2)$ और $C=(3,5,-2)$ हैं,तो $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

यदि तीन बिंदुओं $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ और $7\hat{i} + 4\hat{j} + 9\hat{k}$ हैं,तो त्रिभुज $ABC$ के समतल के लंबवत इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $L_1: \overrightarrow{r}=(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}), \lambda \in R$,$L_2: \overrightarrow{r}=(\hat{j}-\hat{k})+\mu(3 \hat{i}+\hat{j}+p \hat{k}), \mu \in R$,और $L_3: \overrightarrow{r}=\delta(\ell \hat{i}+m \hat{j}+n \hat{k}), \delta \in R$ तीन रेखाएँ इस प्रकार हैं कि $L_1, L_2$ के लंबवत है और $L_3, L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत है। तो वह बिंदु जो $L_3$ पर स्थित है,है

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन सदिश हैं, जिनमें से प्रत्येक का परिमाण $\sqrt{2}$ है, इस प्रकार कि $(\vec{a}, \vec{b})=(\vec{b}, \vec{c})=(\vec{c}, \vec{a})=\frac{\pi}{3}$ है। यदि $\vec{x}=\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})$ और $\vec{y}=\vec{b} \times(\vec{c} \times \vec{a})$ है, तो

यदि $a=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$b=\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ और $c=2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$ है,तो $a$ और $b$ दोनों के लंबवत एक इकाई सदिश का $c$ पर प्रक्षेप का परिमाण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b} = 6\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ है। तब सदिशों $(2\vec{a} + 3\vec{b})$ और $(\vec{a} - \vec{b})$ द्वारा निर्धारित आसन्न भुजाओं वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल का वर्ग क्या होगा?