જો ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(1, 2, 3)$,$(2, 3, 1)$ અને $(3, 1, 2)$ હોય,અને જો $H, G, S$ અને $I$ અનુક્રમે તેના લંબકેન્દ્ર,મધ્યકેન્દ્ર,પરિકેન્દ્ર અને અંતઃકેન્દ્ર દર્શાવતા હોય,તો $H+G+S+I$ ની કિંમત શોધો.

એક બિંદુનો બિંદુપથ શોધો જેનું $XY$-સમતલથી અંતર તેના $Z$-અક્ષથી અંતર કરતા બમણું હોય.

વિધાન $(A):$ જો $(-1,3,2)$ અને $(5,3,2)$ અનુક્રમે ત્રિકોણના લંબકેન્દ્ર અને પરિકેન્દ્ર હોય, તો $(3,3,2)$ તેનું મધ્યકેન્દ્ર છે.
કારણ $(R):$ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર લંબકેન્દ્ર અને પરિકેન્દ્રને જોડતા રેખાખંડનું $1: 2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

એક સમઘનની ધારની લંબાઈ $a$ છે. તો સમઘનના વિકર્ણ અને તેની સાથે ત્રાંસી (skew) ધાર વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર કેટલું થાય?

ધારો કે $A(3, 0, -1)$,$B(2, 10, 6)$ અને $C(1, 2, 1)$ એ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે અને $M$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. જો $G$ એ $BM$ ને $2 : 1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે,તો $\cos(\angle GOA)$ ($O$ એ ઉગમબિંદુ છે) ની કિંમત શોધો.

જો એક સુરેખા ઘનના ચાર વિકર્ણો સાથે $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ ખૂણાઓ બનાવે,તો $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma + \sin^2 \delta$ નું મૂલ્ય શોધો.