यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के भीतर प्रतिच्छेद करती हैं,तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खंड दूसरी जीवा के संगत खंडों के बराबर हैं।

(N/A) माना $O$ केंद्र वाला एक वृत्त है। $AB$ और $CD$ दो समान जीवाएँ हैं जो वृत्त के भीतर बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है: $AE = DE$ और $CE = BE$.
रचना: $OM \perp AB$ और $ON \perp CD$ खींचिए। $OE$ को मिलाइए।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $AB = CD$ (दिया है),जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर हैं। इसलिए,$OM = ON$.
$2$. $\Delta OME$ और $\Delta ONE$ में:
- $OM = ON$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
- $OE = OE$ (उभयनिष्ठ भुजा)
- $\angle OME = \angle ONE = 90^\circ$ (रचना से)
$RHS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\Delta OME \cong \Delta ONE$.
$3$. $CPCT$ द्वारा,$ME = NE$ (समीकरण $1$)।
$4$. चूँकि $OM \perp AB$,$M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AM = MB = \frac{1}{2} AB$.
$5$. चूँकि $ON \perp CD$,$N$,$CD$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $CN = ND = \frac{1}{2} CD$.
$6$. चूँकि $AB = CD$,इसलिए $\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD$,जिसका अर्थ है $AM = ND$ (समीकरण $2$)।
$7$. समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर: $AM + ME = ND + NE$,जिससे $AE = DE$ प्राप्त होता है।
$8$. $AB = CD$ में से $AE = DE$ घटाने पर,$AB - AE = CD - DE$ मिलता है,जिसका अर्थ है $BE = CE$.
अतः,एक जीवा के खंड दूसरी जीवा के संगत खंडों के बराबर हैं।