Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesMix Examples - Areas of Parallelograms and Triangles
Difficultआकृति में,$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। $BC$ पर स्थित बिंदु $P$ और $Q$,$BC$ को तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं। सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{ar}(APQ) = \operatorname{ar}(DPQ) = \frac{1}{6} \operatorname{ar}(ABCD)$।
(N/A) $P$ और $Q$ से होकर $AB$ के समांतर रेखाएं $PR$ और $QS$ खींचिए। अब $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है और इसका आधार $PQ = \frac{1}{3} BC$ है।
$\operatorname{ar}(APD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$ [एक ही आधार $BC$ और $BC \parallel AD$]....$(1)$
$\operatorname{ar}(AQD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$....$(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है
$\operatorname{ar}(APD) = \operatorname{ar}(AQD)$....$(3)$
दोनों पक्षों से $\operatorname{ar}(AOD)$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है
$\operatorname{ar}(APD) - \operatorname{ar}(AOD) = \operatorname{ar}(AQD) - \operatorname{ar}(AOD)$
$\operatorname{ar}(APO) = \operatorname{ar}(OQD)$....$(4)$
$(4)$ में दोनों पक्षों में $\operatorname{ar}(OPQ)$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है
$\operatorname{ar}(APO) + \operatorname{ar}(OPQ) = \operatorname{ar}(OQD) + \operatorname{ar}(OPQ)$
$\operatorname{ar}(APQ) = \operatorname{ar}(DPQ)$
चूंकि,$\operatorname{ar}(APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(PQRS)$,इसलिए
$\operatorname{ar}(DPQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(PQRS)$
अब,$\operatorname{ar}(PQRS) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(ABCD)$
अतः,$\operatorname{ar}(APQ) = \operatorname{ar}(DPQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(PQRS) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{6} \operatorname{ar}(ABCD)$।
$\operatorname{ar}(APD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$ [एक ही आधार $BC$ और $BC \parallel AD$]....$(1)$
$\operatorname{ar}(AQD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$....$(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है
$\operatorname{ar}(APD) = \operatorname{ar}(AQD)$....$(3)$
दोनों पक्षों से $\operatorname{ar}(AOD)$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है
$\operatorname{ar}(APD) - \operatorname{ar}(AOD) = \operatorname{ar}(AQD) - \operatorname{ar}(AOD)$
$\operatorname{ar}(APO) = \operatorname{ar}(OQD)$....$(4)$
$(4)$ में दोनों पक्षों में $\operatorname{ar}(OPQ)$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है
$\operatorname{ar}(APO) + \operatorname{ar}(OPQ) = \operatorname{ar}(OQD) + \operatorname{ar}(OPQ)$
$\operatorname{ar}(APQ) = \operatorname{ar}(DPQ)$
चूंकि,$\operatorname{ar}(APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(PQRS)$,इसलिए
$\operatorname{ar}(DPQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(PQRS)$
अब,$\operatorname{ar}(PQRS) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(ABCD)$
अतः,$\operatorname{ar}(APQ) = \operatorname{ar}(DPQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(PQRS) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{6} \operatorname{ar}(ABCD)$।
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