આકૃતિમાં,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $BC$ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$,$BC$ નું ત્રણ સમાન ભાગમાં વિભાજન કરે છે. સાબિત કરો કે $\operatorname{ar}(APQ) = \operatorname{ar}(DPQ) = \frac{1}{6} \operatorname{ar}(ABCD)$.

(N/A) $P$ અને $Q$ માંથી પસાર થતી $AB$ ને સમાંતર રેખાઓ $PR$ અને $QS$ દોરો. હવે $PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને તેનો પાયો $PQ = \frac{1}{3} BC$ છે.
$\operatorname{ar}(APD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$ [સમાન પાયો $BC$ અને $BC \parallel AD$]....$(1)$
$\operatorname{ar}(AQD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$....$(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે
$\operatorname{ar}(APD) = \operatorname{ar}(AQD)$....$(3)$
બંને બાજુથી $\operatorname{ar}(AOD)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે
$\operatorname{ar}(APD) - \operatorname{ar}(AOD) = \operatorname{ar}(AQD) - \operatorname{ar}(AOD)$
$\operatorname{ar}(APO) = \operatorname{ar}(OQD)$....$(4)$
$(4)$ માં બંને બાજુ $\operatorname{ar}(OPQ)$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે
$\operatorname{ar}(APO) + \operatorname{ar}(OPQ) = \operatorname{ar}(OQD) + \operatorname{ar}(OPQ)$
$\operatorname{ar}(APQ) = \operatorname{ar}(DPQ)$
કારણ કે,$\operatorname{ar}(APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(PQRS)$,તેથી
$\operatorname{ar}(DPQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(PQRS)$
હવે,$\operatorname{ar}(PQRS) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(ABCD)$
તેથી,$\operatorname{ar}(APQ) = \operatorname{ar}(DPQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(PQRS) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{6} \operatorname{ar}(ABCD)$.