आकृति में,$\angle Q > \angle R$,$PA$,$\angle QPR$ का समद्विभाजक है और $PM \perp QR$ है। सिद्ध कीजिए कि $\angle APM = \frac{1}{2}(\angle Q - \angle R)$।

(N/A) दिया है: $\triangle PQR$ में,$\angle Q > \angle R$,$PA$,$\angle QPR$ का समद्विभाजक है और $PM \perp QR$ है।
सिद्ध करना है: $\angle APM = \frac{1}{2}(\angle Q - \angle R)$।
उपपत्ति:
$1$. चूँकि $PA$,$\angle QPR$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle QPA = \angle APR = \frac{1}{2} \angle QPR$ है।
$2$. $\triangle PQM$ में,$\angle Q + \angle PMQ + \angle QPM = 180^{\circ}$। चूँकि $\angle PMQ = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle Q + 90^{\circ} + \angle QPM = 180^{\circ}$,अतः $\angle Q = 90^{\circ} - \angle QPM$।
$3$. $\triangle PRM$ में,$\angle R + \angle PMR + \angle RPM = 180^{\circ}$। चूँकि $\angle PMR = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle R + 90^{\circ} + \angle RPM = 180^{\circ}$,अतः $\angle R = 90^{\circ} - \angle RPM$।
$4$. दोनों समीकरणों को घटाने पर: $\angle Q - \angle R = (90^{\circ} - \angle QPM) - (90^{\circ} - \angle RPM) = \angle RPM - \angle QPM$।
$5$. हम लिख सकते हैं कि $\angle RPM = \angle APM + \angle APR$ और $\angle QPM = \angle QPA - \angle APM$।
$6$. इन मानों को रखने पर: $\angle Q - \angle R = (\angle APM + \angle APR) - (\angle QPA - \angle APM)$।
$7$. चूँकि $\angle QPA = \angle APR$ है,इसलिए यह सरल होकर $\angle Q - \angle R = 2 \angle APM$ हो जाता है।
$8$. अतः,$\angle APM = \frac{1}{2}(\angle Q - \angle R)$। इति सिद्धम्।