$\Delta ABC$ में,$\angle B$ और $\angle C$ के समद्विभाजक एक-दूसरे को $I$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि $\angle BIC = 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle A$.

(N/A) $\Delta ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$.
$\therefore \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - \angle A \quad \dots(1)$
$\angle B$ और $\angle C$ के समद्विभाजक $I$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$\therefore \angle IBC = \frac{1}{2} \angle ABC$ और $\angle ICB = \frac{1}{2} \angle ACB$.
$\Delta IBC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle BIC + \angle IBC + \angle ICB = 180^{\circ}$.
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - (\angle IBC + \angle ICB)$.
$\angle IBC$ और $\angle ICB$ के मान रखने पर:
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - \left[ \frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle ACB \right]$.
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - \frac{1}{2} (\angle ABC + \angle ACB)$.
समीकरण $(1)$ का उपयोग करने पर:
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - \frac{1}{2} (180^{\circ} - \angle A)$.
$\therefore \angle BIC = 180^{\circ} - 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle A$.
$\therefore \angle BIC = 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle A$.