$\Delta ABC$ માં,$AD$ મધ્યગા છે અને $E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે. $BE$ ને લંબાવતા તે $AC$ ને $F$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $AF = \frac{1}{3} AC$.

(A) રચના: $BF$ ને સમાંતર રેખા $DG$ દોરો જેથી $G$ એ $AC$ પર આવેલું હોય.
$\Delta ADG$ માં,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $EG \parallel DF$ (કારણ કે $EG \parallel BF$),તેથી મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$G$ એ $AF$ નું મધ્યબિંદુ છે. આમ,$AG = GF$ ... $(1)$.
$\Delta CBF$ માં,$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $DG \parallel BF$,તેથી મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$G$ એ $FC$ નું મધ્યબિંદુ છે. આમ,$GF = FC$ ... $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$AG = GF = FC$ મળે છે.
$AC = AG + GF + FC$ હોવાથી,$AC = 3AG$ લખી શકાય.
તેથી,$AG = \frac{1}{3} AC$.
$AF = AG + GF = 2AG$ હોવાથી,$AF = \frac{2}{3} AC$ થાય.