$\Delta PQR$ માં,$M$ અને $N$ અનુક્રમે $PQ$ અને $PR$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. $X$ એ $QR$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે. સાબિત કરો કે,$ar(MXN) = \frac{1}{4} ar(PQR)$.

(N/A) $1$. $M$ અને $N$ એ અનુક્રમે $PQ$ અને $PR$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$MN \parallel QR$ અને $MN = \frac{1}{2} QR$ થાય.
$2$. $\Delta MXN$ અને $\Delta MNR$ ને ધ્યાનમાં લો. બંને ત્રિકોણો સમાંતર રેખાઓ $MN$ અને $QR$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
$3$. $\Delta MXN$ નો પાયો $MN$ છે અને $\Delta MNR$ નો પાયો પણ $MN$ છે. સમાન પાયા અને સમાન સમાંતર રેખાઓ વચ્ચે આવેલા હોવાથી,$ar(MXN) = ar(MNR)$ થાય.
$4$. $\Delta PQR$ માં,$MN \parallel QR$ છે. $MN$ પાયાને સાપેક્ષ $\Delta MNR$ ની ઊંચાઈ એ $QR$ પાયાને સાપેક્ષ $\Delta PQR$ ની ઊંચાઈ કરતા અડધી છે,કારણ કે $M$ અને $N$ મધ્યબિંદુઓ છે.
$5$. $ar(MNR) = \frac{1}{2} \times MN \times h_{MNR} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} QR) \times (\frac{1}{2} h_{PQR}) = \frac{1}{4} \times (\frac{1}{2} \times QR \times h_{PQR}) = \frac{1}{4} ar(PQR)$.
$6$. $ar(MXN) = ar(MNR)$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $ar(MXN) = \frac{1}{4} ar(PQR)$.