triangle ABC में, भुजाओं AB, BC और CA के मध्य | vedclass

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Question

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$, $B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।दिया गया है कि $AB, BC$ और $CA$ के मध्य बिंदु क्रमशः $(l, 0

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$8$

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(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$, $B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।दिया गया है कि $AB, BC$ और $CA$ के मध्य बिंदु क्रमशः $(l, 0, 0), (0, m, 0)$ और $(0, 0, n)$ हैं।मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:$\frac{x_1+x_2}{2} = l, \frac{y_1+y_2}{2} = 0, \frac{z_1+z_2}{2} = 0 \implies x_1+x_2=2l, y_1+y_2=0, z_1+z_2=0$$\frac{x_2+x_3}{2} = 0, \frac{y_2+y_3}{2} = m, \frac{z_2+z_3}{2} = 0 \implies x_2+x_3=0, y_2+y_3=2m, z_2+z_3=0$$\frac{x_3+x_1}{2} = 0, \frac{y_3+y_1}{2} = 0, \frac{z_3+z_1}{2} = n \implies x_3+x_1=0, y_3+y_1=0, z_3+z_1=2n$इन समीकरणों को हल करने पर:$x$ के लिए: $x_1=l, x_2=l, x_3=-l$$y$ के लिए: $y_1=-m, y_2=m, y_3=m$$z$ के लिए: $z_1=n, z_2=-n, z_3=n$अतः, $A(l, -m, n), B(l, m, -n), C(-l, m, n)$ प्राप्त होते हैं।अब, भुजाओं की लंबाई के वर्गों की गणना करने पर:$AB^2 = 4m^2 + 4n^2$$BC^2 = 4l^2 + 4n^2$$CA^2 = 4l^2 + 4m^2$योग: $AB^2+BC^2+CA^2 = 8(l^2+m^2+n^2)$.इसलिए, $\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{l^2+m^2+n^2} = 8$.

$\triangle ABC$ में, भुजाओं $AB, BC$ और $CA$ के मध्य बिंदु क्रमशः $(l, 0, 0), (0, m, 0)$ और $(0, 0, n)$ हैं। तो, $\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{l^2+m^2+n^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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