Delta ABC में,8 Delta = (b + c)(bc + 1) है,तो | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $8 \Delta = (b + c)(bc + 1)$.चूँकि $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A$,हमारे पास $8 \cdot \frac{1}{2} bc \sin A = (b + c)(bc + 1)$ है।$4

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$\sqrt{\Delta}$

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(A) दिया गया है $8 \Delta = (b + c)(bc + 1)$.चूँकि $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A$,हमारे पास $8 \cdot \frac{1}{2} bc \sin A = (b + c)(bc + 1)$ है।$4 bc \sin A = (b + c)(bc + 1)$.$bc$ से विभाजित करने पर,$4 \sin A = (b + c) \left(1 + \frac{1}{bc}\right) = b + \frac{1}{b} + c + \frac{1}{c}$.$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$b + \frac{1}{b} \ge 2$ और $c + \frac{1}{c} \ge 2$,इसलिए $b + \frac{1}{b} + c + \frac{1}{c} \ge 4$.चूँकि $\sin A \le 1$,$4 \sin A \le 4$.अतः,समानता केवल तब होती है जब $b = 1, c = 1$ और $\sin A = 1$,जिसका अर्थ है $A = 90^\circ$.इस स्थिति में,भुजाएँ $b = 1, c = 1$ हैं,और $a = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{2}$.क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.चूँकि $\Delta = \frac{1}{2}$,हमारे पास $\sqrt{\Delta} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।इसलिए,$R = \sqrt{\Delta}$.

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