$\triangle PQR$ માં,$PR^{2} - PQ^{2} = QR^{2}$ અને $M$ એ બાજુ $PR$ પરનું એવું બિંદુ છે કે જેથી $QM \perp PR$ થાય. સાબિત કરો કે $QM^{2} = PM \times MR$.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle PQR$ માં,$PR^{2} - PQ^{2} = QR^{2}$ અને $QM \perp PR$.
સાબિત કરવાનું છે: $QM^{2} = PM \times MR$.
સાબિતી: કારણ કે $PR^{2} - PQ^{2} = QR^{2}$,તેથી $PR^{2} = PQ^{2} + QR^{2}$ થાય.
પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપ વિધાન મુજબ,$\triangle PQR$ એ $Q$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
$\triangle QMR$ અને $\triangle PMQ$ માં:
$\angle M = \angle M = 90^{\circ}$ (આપેલ છે કે $QM \perp PR$ અને $\angle PQR = 90^{\circ}$ હોવાથી $\angle MQR + \angle MQP = 90^{\circ}$).
$\angle P + \angle R = 90^{\circ}$ અને $\angle MQR + \angle R = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\angle MQR = \angle P$ થાય.
તે જ રીતે,$\angle MQP = \angle R$ થાય.
આમ,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle QMR \sim \triangle PMQ$ થાય.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{QM}{PM} = \frac{MR}{QM}$.
તેથી,$QM^{2} = PM \times MR$. આમ સાબિત થાય છે.