एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म में,एक आधार के के | vedclass

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Question

(B) माना समबाहु त्रिभुजाकार आधार की भुजा की लंबाई $a$ है और प्रिज्म की ऊँचाई $h$ है।आधार के केंद्र $G$ से शीर्ष $A$ तक की दूरी समबाहु त्रिभुज की परिवृ

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$\frac{l}{\sqrt{3}}$

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(B) माना समबाहु त्रिभुजाकार आधार की भुजा की लंबाई $a$ है और प्रिज्म की ऊँचाई $h$ है।आधार के केंद्र $G$ से शीर्ष $A$ तक की दूरी समबाहु त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या है,जो $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ द्वारा दी जाती है।ऊँचाई $h$,त्रिज्या $R$ और दूरी $l$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,हमारे पास $l^2 = R^2 + h^2 = \frac{a^2}{3} + h^2$ है।अतः,$a^2 = 3(l^2 - h^2)$ है।प्रिज्म का आयतन $V = 	ext{आधार का क्षेत्रफल} 	imes h = \left( \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ight) h$ है।$a^2$ का मान रखने पर,हमें $V(h) = \frac{\sqrt{3}}{4} 	imes 3(l^2 - h^2) h = \frac{3\sqrt{3}}{4} (l^2 h - h^3)$ प्राप्त होता है।$V$ को अधिकतम करने के लिए,हम $V'(h) = \frac{3\sqrt{3}}{4} (l^2 - 3h^2) = 0$ ज्ञात करते हैं।$V'(h) = 0$ रखने पर $l^2 = 3h^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $h = \frac{l}{\sqrt{3}}$ है।अतः,वह ऊँचाई जिसके लिए आयतन अधिकतम है,$\frac{l}{\sqrt{3}}$ है।

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