एक समकोण समलंब $ABCD$ में,विकर्ण लंबवत हैं,और आधारों की लंबाई का अनुपात $AD : BC = 2 : 3$ है। तो विकर्णों की लंबाई का अनुपात है

यदि $\theta$ दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है, जहाँ $|\vec{a}|=7$, $|\vec{b}|=1$ और $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = k^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ है, तो $k$ और $\theta$ के मान ज्ञात कीजिए।

यदि सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत नहीं हैं,और $\vec{c}$ तथा $\vec{d}$ दो ऐसे सदिश हैं जो $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{d}$ और $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$ को संतुष्ट करते हैं,तो सदिश $\vec{d} = ....$

निम्नलिखित अभिकथन $(A)$ और कारण $(R)$ पर विचार करें:
अभिकथन $(A)$: दो रेखाएँ $\bar{r}=\bar{a}+t(\bar{b})$ और $\bar{r}=\bar{b}+s(\bar{a})$ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं।
कारण $(R)$: रेखाओं $\bar{r}=\bar{p}+t(\bar{q})$ और $\bar{r}=\bar{c}+s(\bar{d})$ के बीच की न्यूनतम दूरी, सदिश $(\bar{p}-\bar{c})$ का $(\bar{q} \times \bar{d})$ पर प्रक्षेप की लंबाई के बराबर होती है।
सही उत्तर है:

मान लीजिए $\vec{a}=\alpha \hat{i}+\hat{j}+\beta \hat{k}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+4 \hat{k}$ दो सदिश हैं,इस प्रकार कि $\vec{a} \times \vec{b}=-\hat{i}+9 \hat{j}+12 \hat{k}$ है। तब $\vec{b}-2 \vec{a}$ का $\vec{b}+\vec{a}$ पर प्रक्षेप किसके बराबर है?

मान लीजिए $a = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$b = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,और $c = 5\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ तीन सदिश हैं। उन बिंदुओं के समुच्चय द्वारा निर्मित क्षेत्र का क्षेत्रफल,जिनके स्थिति सदिश $\vec{r}$ समीकरणों $\vec{r} \cdot \vec{a} = 5$ और $|\vec{r} - \vec{b}| + |\vec{r} - \vec{c}| = 4$ को संतुष्ट करते हैं,किस पूर्णांक के सबसे निकट है?