त्रिभुज $PQR$ में,$PR$ पर $N$ एक ऐसा बिंदु है कि $QN \perp PR$ है। यदि $PN \cdot NR = QN^2$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\angle PQR = 90^{\circ}$ है।

(N/A) दिया है: $\Delta PQR$ में,$PR$ पर $N$ एक बिंदु है ताकि $QN \perp PR$ और $PN \cdot NR = QN^2$ हो।
सिद्ध करना है: $\angle PQR = 90^{\circ}$।
उपपत्ति: हमारे पास $PN \cdot NR = QN^2$ है।
इसे $\frac{PN}{QN} = \frac{QN}{NR}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\Delta QNP$ और $\Delta RNQ$ में:
$1$. $\frac{PN}{QN} = \frac{QN}{NR}$ (दिया है)
$2$. $\angle PNQ = \angle RNQ = 90^{\circ}$ ($QN \perp PR$ दिया है)
$SAS$ समरूपता कसौटी से,$\Delta QNP \sim \Delta RNQ$ है।
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनके संगत कोण बराबर होते हैं:
$\angle PQN = \angle QRN$ (मान लीजिए यह $\alpha$ है)
$\angle RQN = \angle QPN$ (मान लीजिए यह $\beta$ है)
$\Delta PQR$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle P + \angle R + \angle PQR = 180^{\circ}$
$\angle QPN + \angle QRN + (\angle PQN + \angle RQN) = 180^{\circ}$
बराबर कोणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\beta + \alpha + (\alpha + \beta) = 180^{\circ}$
$2(\alpha + \beta) = 180^{\circ}$
$\alpha + \beta = 90^{\circ}$
चूँकि $\angle PQR = \alpha + \beta$,इसलिए $\angle PQR = 90^{\circ}$ है।
इति सिद्धम्।