एक $A.P.$ में,यदि $p^{\text{th}}$ पद $\frac{1}{q}$ है और $q^{\text{th}}$ पद $\frac{1}{p}$ है,तो सिद्ध कीजिए कि प्रथम $pq$ पदों का योग $\frac{1}{2}(pq+1)$ है,जहाँ $p \neq q$.

$A.P.$ का सामान्य पद $a_n = a + (n-1)d$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$a_p = a + (p-1)d = \frac{1}{q}$ $(1)$
$a_q = a + (q-1)d = \frac{1}{p}$ $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$(p-1)d - (q-1)d = \frac{1}{q} - \frac{1}{p}$
$(p-q)d = \frac{p-q}{pq}$
चूंकि $p \neq q$,इसलिए $d = \frac{1}{pq}$ प्राप्त होता है।
$d$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$a + (p-1)\frac{1}{pq} = \frac{1}{q}$
$a = \frac{1}{q} - \frac{p-1}{pq} = \frac{p - (p-1)}{pq} = \frac{1}{pq}$।
प्रथम $pq$ पदों का योग $S_{pq} = \frac{pq}{2}[2a + (pq-1)d]$ है।
$S_{pq} = \frac{pq}{2}[2(\frac{1}{pq}) + (pq-1)(\frac{1}{pq})]$
$S_{pq} = \frac{pq}{2}[\frac{2 + pq - 1}{pq}]$
$S_{pq} = \frac{pq}{2}[\frac{pq+1}{pq}] = \frac{1}{2}(pq+1)$।