निम्नलिखित प्रत्येक स्थिति में,बताइए कि क्या फलन एकैकी (one-one),आच्छादक (onto) या आच्छादी (bijective) है। अपने उत्तर का औचित्य बताइए। $f : R \rightarrow R$ जो $f(x) = 3 - 4x$ द्वारा परिभाषित है।

(D) दिया गया है कि $f : R \rightarrow R$,$f(x) = 3 - 4x$ द्वारा परिभाषित है।
$1.$ एकैकी (one-one) के लिए जाँच:
माना $x_1, x_2 \in R$ इस प्रकार हैं कि $f(x_1) = f(x_2)$.
तब,$3 - 4x_1 = 3 - 4x_2$.
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर,हमें $-4x_1 = -4x_2$ प्राप्त होता है।
$-4$ से भाग देने पर,हमें $x_1 = x_2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$,अतः फलन $f$ एकैकी है।
$2.$ आच्छादक (onto) के लिए जाँच:
माना $y \in R$ सह-प्रांत का कोई अवयव है।
हम ऐसा $x \in R$ ज्ञात करना चाहते हैं कि $f(x) = y$.
$3 - 4x = y \implies 4x = 3 - y \implies x = \frac{3 - y}{4}$.
चूँकि $y \in R$,इसलिए $\frac{3 - y}{4}$ भी एक वास्तविक संख्या $(R)$ है।
अतः,प्रत्येक $y \in R$ के लिए,$x = \frac{3 - y}{4} \in R$ का अस्तित्व है जिससे $f(x) = 3 - 4(\frac{3 - y}{4}) = 3 - (3 - y) = y$.
चूँकि फलन का परिसर सह-प्रांत $R$ के बराबर है,इसलिए फलन $f$ आच्छादक है।
निष्कर्ष:
चूँकि फलन एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए यह आच्छादी (bijective) है।