यदि f: Z rightarrow Z, f(x) = begin{cases} fr | vedclass

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Question

(A) दिया गया है, $f: Z ightarrow Z$, $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & 	ext{यदि } x 	ext{ सम है} \ 0, & 	ext{यदि } x 	ext{ विषम है} \end{cas

Vedclass · Accepted Answer

आच्छादक (onto) है लेकिन एकैकी (one-to-one) नहीं

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है, $f: Z ightarrow Z$, $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & 	ext{यदि } x 	ext{ सम है} \ 0, & 	ext{यदि } x 	ext{ विषम है} \end{cases}$.$f$ के एकैकी होने के लिए, $f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ $x_1 = x_2$ होना चाहिए।मान लीजिए $x_1 = 1$ और $x_2 = 3$। दोनों विषम हैं, इसलिए $f(1) = 0$ और $f(3) = 0$।चूंकि $f(1) = f(3)$ है लेकिन $1 
eq 3$, इसलिए $f$ एकैकी नहीं है।$f$ के आच्छादक होने के लिए, परिसर (range) सह-प्रांत (codomain) $Z$ के बराबर होना चाहिए।यदि $x$ सम है, तो $x = 2k$ लें जहाँ $k \in Z$। तब $f(2k) = \frac{2k}{2} = k$।चूंकि $k$, $Z$ में कोई भी पूर्णांक हो सकता है, इसलिए $f$ का परिसर $Z$ है।अतः, $f$ आच्छादक है।इसलिए, $f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

यदि $f: Z \rightarrow Z$, $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & \text{यदि } x \text{ सम है} \\ 0, & \text{यदि } x \text{ विषम है} \end{cases}$, तो $f$ है

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मान लीजिए $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार परिभाषित है कि $f(n) = \begin{cases} \frac{n+1}{2}; & \text{यदि } n \text{ विषम है} \\ \frac{n}{2}; & \text{यदि } n \text{ सम है} \end{cases}$। तो $f$ है:

मान लीजिए $A = \{x \in R : x \text{ एक धनात्मक पूर्णांक नहीं है}\}$। एक फलन $f : A \to R$ को $f(x) = \frac{2x}{x - 1}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $f$ है

फलन $f: N \rightarrow Z$ जो $f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} & , n \text{ सम है} \\ -\left(\frac{n-1}{2}\right) & , n \text{ विषम है} \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,वह . . . . . . है।

मान लीजिए $A=\{1,3,7,9,11\}$ और $B=\{2,4,5,7,8,10,12\}$ है। तो एक-एक (one-one) फलनों $f: A \rightarrow B$ की कुल संख्या,ताकि $f(1)+f(3)=14$ हो,ज्ञात कीजिए।

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