आकृति में,$ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $A$ समकोण है। $BCED$,$ACFG$ और $ABMN$ क्रमशः भुजाओं $BC$,$CA$ और $AB$ पर बने वर्ग हैं। रेखाखंड $AX \perp DE$,$BC$ को $Y$ पर मिलता है। सिद्ध कीजिए कि: $\operatorname{ar}(BCED) = \operatorname{ar}(ABMN) + \operatorname{ar}(ACFG)$

(N/A) सिद्ध करना है: $\operatorname{ar}(BCED) = \operatorname{ar}(ABMN) + \operatorname{ar}(ACFG)$।
$1$. $AD$ और $FC$ को मिलाइए। $\triangle ABD$ और $\triangle MBC$ को देखिए। हमारे पास $AB = MB$ (वर्ग $ABMN$ की भुजाएँ),$BD = BC$ (वर्ग $BCED$ की भुजाएँ),और $\angle ABD = \angle ABC + 90^\circ = \angle MBC + 90^\circ = \angle MBC$ है। अतः,$SAS$ सर्वांगसमता से $\triangle ABD \cong \triangle MBC$ है।
$2$. चूंकि $\triangle ABD$ और वर्ग $ABMN$ एक ही आधार $AB$ पर और समांतर रेखाओं $AB$ और $MD$ के बीच स्थित हैं,इसलिए $\operatorname{ar}(ABD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABMN)$ है।
$3$. इसी प्रकार,$\triangle MBC$ और आयत $BYXD$ एक ही आधार $BD$ पर और समांतर रेखाओं $BD$ और $CX$ के बीच स्थित हैं,इसलिए $\operatorname{ar}(MBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BYXD)$ है।
$4$. चूंकि $\triangle ABD \cong \triangle MBC$,इसलिए उनके क्षेत्रफल समान हैं। अतः,$\frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABMN) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BYXD)$,जिसका अर्थ है कि $\operatorname{ar}(ABMN) = \operatorname{ar}(BYXD)$ है।
$5$. इसी तर्क से,$\operatorname{ar}(ACFG) = \operatorname{ar}(CYXE)$ है।
$6$. इन्हें जोड़ने पर,$\operatorname{ar}(ABMN) + \operatorname{ar}(ACFG) = \operatorname{ar}(BYXD) + \operatorname{ar}(CYXE) = \operatorname{ar}(BCED)$।