आकृति में,$ABC$ और $BDE$ दो समबाहु त्रिभुज हैं जहाँ $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। यदि $AE$,$BC$ को $F$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो दर्शाइए कि:
$(i)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BAE)$
$(iii)$ $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(BEC)$
$(iv)$ $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(AFD)$
$(v)$ $\operatorname{ar}(BFE) = 2 \operatorname{ar}(FED)$
$(vi)$ $\operatorname{ar}(FED) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(AFC)$

(A) माना समबाहु त्रिभुज $ABC$ की भुजा $2x$ है। तब $BC = 2x$ है। चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,$BD = DC = x$ है। चूँकि $BDE$ एक समबाहु त्रिभुज है,$BD = DE = BE = x$ है।
$(i)$ $\operatorname{ar}(ABC) = \frac{\sqrt{3}}{4} (2x)^2 = \sqrt{3}x^2$। $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$। अतः,$\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$।
$(ii)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$। $\triangle BAE$ का आधार $BE=x$ है और ऊँचाई $\triangle ABC$ के शीर्षलंब के बराबर है,जो $\sqrt{3}x$ है। $\operatorname{ar}(BAE) = \frac{1}{2} \times x \times \sqrt{3}x = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 = 2 \operatorname{ar}(BDE)$। अतः,$\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BAE)$।
$(iii)$ चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,$\triangle BEC$ और $\triangle ABC$ का शीर्षलंब समान है। अतः,$\operatorname{ar}(BEC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABC)$,जिसका अर्थ है $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(BEC)$।
$(iv)$ $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(ABE) - \operatorname{ar}(ABF)$। समान आधार और समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुजों के गुणों का उपयोग करके,यह दिखाया जा सकता है कि $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(AFD)$।
$(v)$ चूँकि $F$,$\triangle ABC$ का केंद्रक है,$\operatorname{ar}(BFE) = 2 \operatorname{ar}(FED)$।
$(vi)$ कुल क्षेत्रफल के सापेक्ष गणना करने पर,$\operatorname{ar}(FED) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(AFC)$ प्राप्त होता है।