आकृति में,$AD$ त्रिभुज $ABC$ की एक माध्यिका है और $AM \perp BC$ है। सिद्ध कीजिए कि:
$AB^{2} = AD^{2} - BC \cdot DM + \left(\frac{BC}{2}\right)^{2}$

(N/A) दिया है: $AD$,$\Delta ABC$ की माध्यिका है,इसलिए $BD = DC = \frac{BC}{2}$.
साथ ही,$AM \perp BC$.
समकोण $\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^{2} = AM^{2} + BM^{2}$
समकोण $\Delta ADM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AD^{2} = AM^{2} + DM^{2} \implies AM^{2} = AD^{2} - DM^{2}$
पहले समीकरण में $AM^{2}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$AB^{2} = (AD^{2} - DM^{2}) + BM^{2}$
चूंकि $BM = BD - DM$,हमारे पास है:
$AB^{2} = AD^{2} - DM^{2} + (BD - DM)^{2}$
$AB^{2} = AD^{2} - DM^{2} + BD^{2} + DM^{2} - 2 \cdot BD \cdot DM$
$AB^{2} = AD^{2} + BD^{2} - 2 \cdot BD \cdot DM$
चूंकि $BD = \frac{BC}{2}$,इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$AB^{2} = AD^{2} + \left(\frac{BC}{2}\right)^{2} - 2 \cdot \left(\frac{BC}{2}\right) \cdot DM$
$AB^{2} = AD^{2} + \left(\frac{BC}{2}\right)^{2} - BC \cdot DM$