'$OPTICAL$' શબ્દના અક્ષરોને કેટલી અલગ અલગ રીતે ગોઠવી શકાય કે જેથી સ્વરો હંમેશા સાથે આવે?

$^{47}C_4 + \sum_{r=1}^{5} {}^{52-r}C_3 = $

ધારો કે એક ગોળાકાર સ્ટેડિયમની સીમા પર સમાન ઊંચાઈના $20$ સ્તંભો ઉભા કરવામાં આવ્યા છે. જો દરેક સ્તંભની ટોચને તેના તમામ બિન-પાસેના (non-adjacent) સ્તંભોની ટોચ સાથે બીમ દ્વારા જોડવામાં આવે,તો બીમની કુલ સંખ્યા કેટલી થાય?

એક ચૂંટણીમાં $8$ ઉમેદવારો છે,જેમાંથી $5$ ઉમેદવારોને પસંદ કરવાના છે. જો કોઈ મતદાર કોઈપણ સંખ્યામાં ઉમેદવારોને મત આપી શકે છે પરંતુ પસંદ કરવાના ઉમેદવારોની સંખ્યા કરતા વધુ નહીં,તો મતદાર કેટલી રીતે મત આપી શકે?

$6$ પુરુષો અને $5$ સ્ત્રીઓ એક ગોળાકાર ટેબલ પર જમે છે,જો કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે,તો તે કેટલી રીતે શક્ય છે?

જો $SACHIN$ શબ્દના અક્ષરોને તમામ શક્ય રીતે ગોઠવવામાં આવે અને આ શબ્દોને શબ્દકોશ (dictionary) મુજબ લખવામાં આવે,તો $SACHIN$ શબ્દનો ક્રમ કયો હશે?