चार बच्चों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से खड़ा किया जा सकता है ताकि उनमें से दो,$A$ और $B$,हमेशा साथ रहें?

एक परीक्षा हॉल में कुर्सियों की $4$ पंक्तियाँ हैं। प्रत्येक पंक्ति में $8$ कुर्सियाँ एक के पीछे एक हैं। परीक्षा के लिए $2$ कक्षाएं बैठी हैं और प्रत्येक कक्षा में $16$ छात्र हैं। यह वांछित है कि प्रत्येक पंक्ति में सभी छात्र एक ही कक्षा के हों और कोई भी $2$ आसन्न पंक्तियाँ एक ही कक्षा को आवंटित न की जाएं। इन $32$ छात्रों को कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है?

$1, 2, 3, 4$ अंकों का उपयोग करके छः अंकों की कुल कितनी प्राकृतिक संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि प्रत्येक अंक संख्या में कम से कम एक बार आना चाहिए?

$ARRANGE$ शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है कि दोनों $R$ एक साथ न आएं?

एक व्यक्ति के $10$ मित्र हैं। वह उनमें से एक या अधिक को कितनी तरह से पार्टी में आमंत्रित कर सकता है?

$TRIANGLE$ शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि कोई भी दो स्वर एक साथ न आएं?