Argand समतल में,सदिश $z = 4 - 3i$ को घड़ी की दिशा में $180^o$ घुमाया जाता है और तीन गुना खींचा जाता है। नए सदिश द्वारा निरूपित सम्मिश्र संख्या है

किसी भी सम्मिश्र संख्या $w = c + id$ के लिए,मान लीजिए $\arg ( w ) \in(-\pi, \pi]$,जहाँ $i =\sqrt{-1}$ है। मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं कि सभी सम्मिश्र संख्याओं $z=x+iy$ के लिए जो $\arg \left(\frac{z+\alpha}{z+\beta}\right)=\frac{\pi}{4}$ को संतुष्ट करती हैं,क्रमित युग्म $( x , y )$ वृत्त $x^2+y^2+5x-3y+4=0$ पर स्थित है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है (हैं)?
$(A) \alpha=-1$ $(B) \alpha \beta=4$ $(C) \alpha \beta=-4$ $(D) \beta=4$

मान लीजिए $C$ सम्मिश्र तल में एक वृत्त है जिसका केंद्र $z_0 = \frac{1}{2}(1 + 3i)$ और त्रिज्या $r = 1$ है। मान लीजिए $z_1 = 1 + i$ है और सम्मिश्र संख्या $z_2$ वृत्त $C$ के बाहर इस प्रकार है कि $|z_1 - z_0| |z_2 - z_0| = 1$ है। यदि $z_0, z_1$ और $z_2$ संरेख हैं,तो $|z_2|^2$ का छोटा मान $.............$ के बराबर है।

मान लीजिए $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_8$ एक नियमित अष्टकोण के शीर्ष हैं जो $2$ त्रिज्या वाले एक वृत्त पर स्थित हैं। मान लीजिए $P$ वृत्त पर एक बिंदु है और $PA_i$,$i=1, 2, \ldots, 8$ के लिए बिंदुओं $P$ और $A_i$ के बीच की दूरी को दर्शाता है। यदि $P$ वृत्त पर घूमता है,तो गुणनफल $PA_1 \cdot PA_2 \cdot \cdots \cdot PA_8$ का अधिकतम मान क्या है?

यदि $z=x+iy$, जहाँ $x$ और $y$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $i=\sqrt{-1}$, तो वे बिंदु $(x, y)$ जिनके लिए $\frac{z-1}{z-i}$ वास्तविक है, स्थित हैं

मान लीजिए $w = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$ और $P = \{w^n : n = 1, 2, 3, \ldots\}$ है। इसके अलावा, $H_1 = \{z \in C : \operatorname{Re}(z) > \frac{1}{2}\}$ और $H_2 = \{z \in C : \operatorname{Re}(z) < -\frac{1}{2}\}$, जहाँ $C$ सभी सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है। यदि $z_1 \in P \cap H_1$, $z_2 \in P \cap H_2$, और $O$ मूल बिंदु को दर्शाता है, तो $\angle z_1 O z_2$ क्या हो सकता है?