व्यंजक $1 + (1 + x) + (1 + x)^2 + \dots + (1 + x)^n$ के विस्तार में $x^k$ $(0 \le k \le n)$ का गुणांक क्या है?

यदि $C_{j}$ का अर्थ ${ }^{n} C_{j}$ है,तो $\frac{C_0}{2} + \frac{C_1}{2 \cdot 2^2} + \frac{C_2}{3 \cdot 2^3} + \ldots + \frac{C_{n}}{(n+1) 2^{n+1}} = $

व्यंजक $\frac{1}{{\sqrt {4x + 1} }}\left[ {{{\left[ {\frac{{1 + \sqrt {4x + 1} }}{2}} \right]}^7} - {{\left[ {\frac{{1 - \sqrt {4x + 1} }}{2}} \right]}^7}} \right]$,$x$ में कितने घात का बहुपद है?

$\left(1+\frac{1}{10^{100}}\right)^{10^{100}}$ से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक $.....$ है।

यदि $\frac{2 x^3+3 x^2+3 x+5}{(x^2+1)(x^2+2)}$ को $x$ की घातों के रूप में विस्तारित किया जाता है,तो $x^5$ का गुणांक क्या है?

एक वास्तविक संख्या $r$ के लिए,$[r]$ को $r$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़े पूर्णांक के रूप में दर्शाया गया है। मान लीजिए $a > 1$ एक वास्तविक संख्या है जो पूर्णांक नहीं है,और $k$ सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जिसके लिए $[a^k] > [a]^k$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा कथन हमेशा सत्य है?