નીચેના કિસ્સાઓમાં,આપેલા સમતલો સમાંતર છે કે લંબ છે તે નક્કી કરો,અને જો તે બંનેમાંથી એક પણ ન હોય,તો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો શોધો:
$4x + 8y + z - 8 = 0$ અને $y + z - 4 = 0$

(D) સમતલો $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ અને $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ ના અભિલંબના દિક-ગુણોત્તરો અનુક્રમે $(A_1, B_1, C_1)$ અને $(A_2, B_2, C_2)$ છે.
જો $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$ હોય,તો સમતલો સમાંતર છે.
જો $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$ હોય,તો સમતલો લંબ છે.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે: $\cos \theta = \left| \frac{A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} \right|$.
આપેલા સમતલો $4x + 8y + z - 8 = 0$ અને $0x + y + z - 4 = 0$ માટે:
$A_1 = 4, B_1 = 8, C_1 = 1$ અને $A_2 = 0, B_2 = 1, C_2 = 1$.
લંબ હોવાની ચકાસણી: $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = (4)(0) + (8)(1) + (1)(1) = 0 + 8 + 1 = 9 \neq 0$. તેથી,તેઓ લંબ નથી.
સમાંતર હોવાની ચકાસણી: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{0}$ (અવ્યાખ્યાયિત),$\frac{B_1}{B_2} = 8$,$\frac{C_1}{C_2} = 1$. ગુણોત્તર સમાન ન હોવાથી,તેઓ સમાંતર નથી.
ખૂણાની ગણતરી: $\cos \theta = \left| \frac{9}{\sqrt{16 + 64 + 1} \sqrt{2}} \right| = \left| \frac{9}{9 \times \sqrt{2}} \right| = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{4}$ રેડિયન.