दी गई आकृति में,$P$ समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु है। दर्शाइए कि,
$(1) \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$
$(2) \operatorname{ar}(APD) + \operatorname{ar}(PBC) = \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD)$

(N/A) $P$ से होकर $AB$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $BC$ को $Q$ पर और $AD$ को $R$ पर प्रतिच्छेद करती है।
अब,चतुर्भुज $ABQR$ में,
$AB \parallel QR$ (रचना से)
$BQ \parallel AR$ (समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$BC \parallel AD$)
$\therefore$ चतुर्भुज $ABQR$ एक समांतर चतुर्भुज है। इसी प्रकार,$DCQR$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\Delta APB$ और समांतर चतुर्भुज $ABQR$ एक ही आधार $AB$ पर और समांतर रेखाओं $AB$ और $QR$ के बीच स्थित हैं।
$\therefore \operatorname{ar}(APB) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABQR) \quad \dots(1)$
इसी प्रकार,$\Delta PCD$ और समांतर चतुर्भुज $DCQR$ एक ही आधार $DC$ पर और समांतर रेखाओं $DC$ और $QR$ के बीच स्थित हैं।
$\therefore \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(DCQR) \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,
$\operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABQR) + \frac{1}{2} \operatorname{ar}(DCQR)$
$\therefore \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} [\operatorname{ar}(ABQR) + \operatorname{ar}(DCQR)]$
$\therefore \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD) \quad \dots(3)$
अब,$P$ से होकर $AD$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को $S$ पर और $CD$ को $T$ पर प्रतिच्छेद करती है।
तब,उपरोक्त की भाँति,यह सिद्ध किया जा सकता है कि $\operatorname{ar}(APD) + \operatorname{ar}(PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD) \quad \dots(4)$
$(3)$ और $(4)$ से,
$\operatorname{ar}(APD) + \operatorname{ar}(PBC) = \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD)$