આપેલ આકૃતિમાં,$P$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના અંદરનું એક બિંદુ છે. સાબિત કરો કે,
$(1) \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$
$(2) \operatorname{ar}(APD) + \operatorname{ar}(PBC) = \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD)$

(N/A) $P$ માંથી પસાર થતી અને $AB$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $BC$ ને $Q$ માં અને $AD$ ને $R$ માં છેદે છે.
હવે,ચતુષ્કોણ $ABQR$ માં,
$AB \parallel QR$ (રચના મુજબ)
$BQ \parallel AR$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$BC \parallel AD$)
$\therefore$ ચતુષ્કોણ $ABQR$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. તેવી જ રીતે,$DCQR$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$\Delta APB$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABQR$ એક જ પાયા $AB$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $QR$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
$\therefore \operatorname{ar}(APB) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABQR) \quad \dots(1)$
તેવી જ રીતે,$\Delta PCD$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $DCQR$ એક જ પાયા $DC$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $DC$ અને $QR$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
$\therefore \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(DCQR) \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,
$\operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABQR) + \frac{1}{2} \operatorname{ar}(DCQR)$
$\therefore \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} [\operatorname{ar}(ABQR) + \operatorname{ar}(DCQR)]$
$\therefore \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD) \quad \dots(3)$
હવે,$P$ માંથી પસાર થતી અને $AD$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $AB$ ને $S$ માં અને $CD$ ને $T$ માં છેદે છે.
તો,ઉપર મુજબ સાબિત કરી શકાય કે $\operatorname{ar}(APD) + \operatorname{ar}(PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD) \quad \dots(4)$
$(3)$ અને $(4)$ પરથી,
$\operatorname{ar}(APD) + \operatorname{ar}(PBC) = \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD)$