ત્રિકોણ $ABC$ ની મધ્યગાઓ $BE$ અને $CF$ બિંદુ $G$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $\triangle GBC$ નું ક્ષેત્રફળ = ચતુષ્કોણ $AFGE$ નું ક્ષેત્રફળ.

(N/A) ધારો કે $BE$ અને $CF$ એ $\triangle ABC$ ની મધ્યગાઓ છે જે $G$ માં છેદે છે. આપણે સાબિત કરવું છે કે $\operatorname{ar}(\triangle GBC) = \operatorname{ar}(AFGE)$.
મધ્યગા ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી મધ્યગા $CF$ માટે:
$\operatorname{ar}(\triangle BCF) = \operatorname{ar}(\triangle ACF)$
$\operatorname{ar}(\triangle GBF) + \operatorname{ar}(\triangle GBC) = \operatorname{ar}(AFGE) + \operatorname{ar}(\triangle GCE) \quad \dots(1)$
તે જ રીતે,મધ્યગા $BE$ માટે:
$\operatorname{ar}(\triangle ABE) = \operatorname{ar}(\triangle CBE)$
$\operatorname{ar}(\triangle AFG) + \operatorname{ar}(\triangle BFG) = \operatorname{ar}(\triangle GCE) + \operatorname{ar}(\triangle GBC) \quad \dots(2)$
આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યકેન્દ્ર $G$ ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા ત્રણ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે: $\operatorname{ar}(\triangle GBC) = \operatorname{ar}(\triangle GCA) = \operatorname{ar}(\triangle GAB) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.
$F$ અને $E$ મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,$\operatorname{ar}(\triangle GAF) = \operatorname{ar}(\triangle GAE) = \frac{1}{6} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.
તેથી,$\operatorname{ar}(AFGE) = \operatorname{ar}(\triangle GAF) + \operatorname{ar}(\triangle GAE) = \frac{1}{6} \operatorname{ar}(\triangle ABC) + \frac{1}{6} \operatorname{ar}(\triangle ABC) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.
આમ,$\operatorname{ar}(\triangle GBC) = \operatorname{ar}(AFGE)$ સાબિત થાય છે.