सामान्य संकेतन में $\Delta \nabla$ का मान किसके बराबर है?

यदि $y=(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)$ है,तो $\lim _{x \rightarrow-1} \frac{dy}{dx}=$

निम्नलिखित कथनों के लिए $T$ या $F$ के प्रारंभिक अक्षरों का सही क्रम दें। यदि कथन सत्य है तो $T$ और यदि असत्य है तो $F$ का उपयोग करें।
कथन-$1$: यदि $f: R \rightarrow R$ और $c \in R$ इस प्रकार हैं कि $f$,$(c - \delta, c)$ में वर्धमान है और $(c, c + \delta)$ में ह्रासमान है,तो $f$ का $c$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ मान है। जहाँ $\delta$ एक पर्याप्त छोटी धनात्मक राशि है।
कथन-$2$: मान लीजिए $f: (a, b) \rightarrow R, c \in (a, b)$ है। तो $f$ के पास $x = c$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ और नति परिवर्तन बिंदु (inflection point) दोनों नहीं हो सकते हैं।
कथन-$3$: फलन $f(x) = x^2 |x|$,$x = 0$ पर दो बार अवकलनीय है।
कथन-$4$: मान लीजिए $f: [c - 1, c + 1] \rightarrow [a, b]$ एकैकी-आच्छादक (bijective) मानचित्र है,इस प्रकार कि $f$,$c$ पर अवकलनीय है और $f'(c) \neq 0$,तो $f^{-1}$ भी $f(c)$ पर अवकलनीय है।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|}, & |x| \geqslant 1 \\ ax^2 + b, & |x| < 1 \end{cases}$ हर जगह सतत और अवकलनीय है। तो $a$ और $b$ हैं

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x^{3/5} & \text{यदि } x \le 1 \\ -(x - 2)^3 & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$ है। तो फलन के ग्राफ पर क्रांतिक बिंदुओं (critical points) की संख्या क्या है?

मान लीजिए $f: R \rightarrow (0, \infty)$ एक दो बार अवकलनीय फलन है, जहाँ $f(3) = 18$, $f'(3) = 0$, और $f''(3) = 4$ है। तो $\lim_{x \rightarrow 1} \left( \log_{e} \left( \frac{f(x+2)}{f(3)} \right)^{\frac{18}{(x-1)^{2}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।