સામાન્ય સંકેતમાં $\Delta \nabla$ નું મૂલ્ય કોના બરાબર છે?

કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$f_n:(0, \infty) \rightarrow R$ ને $f_n(x)=\sum_{j=1}^n \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+(x+j)(x+j-1)}\right)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં $x \in(0, \infty)$. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ $\sum_{j=1}^5 \tan ^2(f_j(0))=55$
$(B)$ $\sum_{j=1}^{10}(1+f_j'(0)) \sec ^2(f_j(0))=10$
$(C)$ કોઈપણ નિશ્ચિત ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$\lim _{x \rightarrow \infty} \tan (f_n(x))=\frac{1}{n}$
$(D)$ કોઈપણ નિશ્ચિત ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$\lim _{x \rightarrow \infty} \sec ^2(f_n(x))=1$

ધારો કે $f(x)$ એ $x$ માં $6$ ઘાતવાળી બહુપદી છે,જેમાં $x^{6}$ નો સહગુણક $1$ છે અને તેને $x=-1$ અને $x=1$ આગળ અંતિમબિંદુઓ (extrema) છે. જો $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}}=1$ હોય,તો $5 \cdot f(2)$ ની કિંમત ............. થાય.

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $f(x) = \sin^{10} x (\cos^8 x + \cos^4 x + \cos^2 x + 1)$,જ્યાં $x \in R$. ધારો કે $S = \{\lambda \in R : \text{એવું બિંદુ } c \in (0, 2\pi) \text{ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી } f'(c) = \lambda f(c)\}$. તો,

ધારો કે $f(x) = (\sin(\tan^{-1} x) + \sin(\cot^{-1} x))^2 - 1$ જ્યાં $|x| > 1$. જો $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(f(x)))$ અને $y(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ હોય,તો $y(-\sqrt{3})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $C$ એ વક્ર $y = x^3$ છે (જ્યાં $x$ તમામ વાસ્તવિક કિંમતો લે છે). $A(t, t^3)$ આગળનો સ્પર્શક વક્રને ફરીથી $B(T, T^3)$ આગળ મળે છે. જો $B$ આગળનો ઢાળ એ $A$ આગળના ઢાળ કરતા $K$ ગણો હોય,તો $K$ ની કિંમત શોધો.