फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{x \cos^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}}$

माना $I = \int \frac{x \cos^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} dx$.
हम समाकलन को $I = -\frac{1}{2} \int \frac{-2x}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot \cos^{-1} x dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \cos^{-1} x$ और $dv = \frac{-2x}{\sqrt{1-x^{2}}} dx$ लें।
तब $du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx$ और $v = 2\sqrt{1-x^{2}}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए:
$I = -\frac{1}{2} \left[ \cos^{-1} x \cdot 2\sqrt{1-x^{2}} - \int 2\sqrt{1-x^{2}} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \right) dx \right]$.
$I = -\frac{1}{2} \left[ 2\sqrt{1-x^{2}} \cos^{-1} x + \int 2 dx \right]$.
$I = -\frac{1}{2} \left[ 2\sqrt{1-x^{2}} \cos^{-1} x + 2x \right] + C$.
$I = -\sqrt{1-x^{2}} \cos^{-1} x - x + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।