फलन का समाकलन कीजिए: $\tan^{-1} x$

माना $I = \int 1 \cdot \tan^{-1} x \, dx$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,जहाँ $\tan^{-1} x$ प्रथम फलन है और $1$ द्वितीय फलन है:
$I = \tan^{-1} x \int 1 \, dx - \int \left( \frac{d}{dx} \tan^{-1} x \cdot \int 1 \, dx \right) dx$
$I = x \tan^{-1} x - \int \frac{1}{1+x^2} \cdot x \, dx$
$I = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+x^2} \, dx$
चूंकि $1+x^2$ का अवकलन $2x$ है,हम प्रतिस्थापन $u = 1+x^2$ और $du = 2x \, dx$ का उपयोग करते हैं:
$I = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log |1+x^2| + C$
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $1+x^2 > 0$ है,हम लिख सकते हैं:
$I = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।