फलन का समाकलन कीजिए: $e^{2x} \sin x$

माना कि $I = \int e^{2x} \sin x \, dx$ ..........$(1)$
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. यहाँ $u = \sin x$ और $dv = e^{2x} \, dx$ लेने पर,$du = \cos x \, dx$ और $v = \frac{e^{2x}}{2}$ प्राप्त होता है।
$I = \sin x \cdot \frac{e^{2x}}{2} - \int \cos x \cdot \frac{e^{2x}}{2} \, dx$
$I = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cos x \, dx$
पुनः $\int e^{2x} \cos x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन करने पर,$u = \cos x$ और $dv = e^{2x} \, dx$ लेने पर,$du = -\sin x \, dx$ और $v = \frac{e^{2x}}{2}$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{1}{2} \left[ \cos x \cdot \frac{e^{2x}}{2} - \int (-\sin x) \cdot \frac{e^{2x}}{2} \, dx \right]$
$I = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{e^{2x} \cos x}{4} - \frac{1}{4} \int e^{2x} \sin x \, dx$
$I = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{e^{2x} \cos x}{4} - \frac{1}{4} I$
$I + \frac{1}{4} I = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{e^{2x} \cos x}{4}$
$\frac{5}{4} I = \frac{2e^{2x} \sin x - e^{2x} \cos x}{4}$
$I = \frac{e^{2x}}{5} (2 \sin x - \cos x) + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।