फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{e^{x}}{(1+e^{x})(2+e^{x})}$

(N/A) माना $I = \int \frac{e^{x}}{(1+e^{x})(2+e^{x})} dx$.
$e^{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$e^{x} dx = dt$ प्राप्त होता है।
अतः समाकलन $\int \frac{dt}{(t+1)(t+2)}$ हो जाता है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(t+1)(t+2)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+2}$.
अचरों के लिए हल करने पर,$1 = A(t+2) + B(t+1)$.
$t = -1$ रखने पर $A = 1$ और $t = -2$ रखने पर $B = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\int \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+2} \right) dt = \log|t+1| - \log|t+2| + C$.
$\log a - \log b = \log(\frac{a}{b})$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\log|\frac{t+1}{t+2}| + C$ प्राप्त होता है।
$t = e^{x}$ वापस रखने पर,अंतिम परिणाम $\log|\frac{1+e^{x}}{2+e^{x}}| + C$ है।