परिमेय फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{2x}{x^{2}+3x+2}$

माना $\frac{2x}{x^{2}+3x+2} = \frac{2x}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$.
दोनों पक्षों को $(x+1)(x+2)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x = A(x+2) + B(x+1)$ ........$(1)$
$A$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(1)$ में $x = -1$ रखने पर:
$2(-1) = A(-1+2) + B(0)$
$-2 = A(1) \implies A = -2$.
$B$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(1)$ में $x = -2$ रखने पर:
$2(-2) = A(0) + B(-2+1)$
$-4 = B(-1) \implies B = 4$.
अतः,$\frac{2x}{(x+1)(x+2)} = \frac{-2}{x+1} + \frac{4}{x+2}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{2x}{x^{2}+3x+2} dx = \int \left( \frac{4}{x+2} - \frac{2}{x+1} \right) dx$
$= 4 \int \frac{1}{x+2} dx - 2 \int \frac{1}{x+1} dx$
$= 4 \log |x+2| - 2 \log |x+1| + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।