क्या यह कहना सत्य है कि समीकरण युग्म $-x + 2y + 2 = 0$ और $\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}y - 1 = 0$ का एक अद्वितीय हल है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

(A) हाँ,यह सत्य है।
दिए गए समीकरण हैं:
$1) -x + 2y + 2 = 0$
$2) \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}y - 1 = 0$
इनकी तुलना मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से करने पर:
$a_1 = -1, b_1 = 2, c_1 = 2$
$a_2 = \frac{1}{2}, b_2 = -\frac{1}{4}, c_2 = -1$
अब,अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-1}{1/2} = -2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-1/4} = -8$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (अर्थात $-2 \neq -8$),इसलिए समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।