N = 7^{100} - 3^{100} સંખ્યાના છેલ્લા ત્રણ અં | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપણે $N \pmod{1000}$ શોધવાની જરૂર છે,જ્યાં $N = 7^{100} - 3^{100}$.$N = (5+2)^{100} - (5-2)^{100}$ તરીકે લખતા.દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા: $(x+y)

Vedclass · Accepted Answer

$000$

Vedclass · Answer

(D) આપણે $N \pmod{1000}$ શોધવાની જરૂર છે,જ્યાં $N = 7^{100} - 3^{100}$.$N = (5+2)^{100} - (5-2)^{100}$ તરીકે લખતા.દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા: $(x+y)^n - (x-y)^n = 2 \sum_{k 	ext{ odd}} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$.અહીં $n=100, x=5, y=2$.દરેક પદમાં $5^k$ નો અવયવ છે જ્યાં $k \ge 1$. ખાસ કરીને,$k \ge 3$ માટે,$5^k$ એ $125$ નો ગુણક છે. $2^3=8$ સાથે મળીને,આ પદો $1000$ ના ગુણક બને છે.પ્રથમ પદ $2 \cdot 100 \cdot 5^{99} \cdot 2 = 400 \cdot 5^{99} = 50000 \cdot 5^{96}$ છે,જે $1000$ નો ગુણક છે.આમ,$N \equiv 0 \pmod{1000}$,એટલે કે છેલ્લા ત્રણ અંકો $000$ છે.

$N = 7^{100} - 3^{100}$ સંખ્યાના છેલ્લા ત્રણ અંકો કયા છે?

Similar Questions

$(1+x+x^2)^n$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$\left(x^{2}+\frac{3}{x}\right)^{4}, x \neq 0$ નું વિસ્તરણ કરો.

$\left(1+\frac{1}{10^{100}}\right)^{10^{100}}$ કરતા મોટો સૌથી નાનો પૂર્ણાંક $.....$ છે.

$\left(1+\frac{x}{2}\right)^{12}$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

પદાવલિ $(2 + \sqrt{2})^4$ ની કિંમત કોની વચ્ચે આવે છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module