બિંદુઓ $-1 - i$ અને $2 + 3i$ ને જોડતા રેખાખંડની લંબાઈ કેટલી છે?

જો સંકર સંખ્યા $z$ એ $|z^2-1|=|z|^2+1$ નું સમાધાન કરતી હોય,તો $z$ એ કયા પર આવેલી છે?

ધારો કે $u = \frac{2z + i}{z - ki}$, જ્યાં $z = x + iy$ અને $k > 0$ છે. જો $\operatorname{Re}(u) + \operatorname{Im}(u) = 1$ દ્વારા દર્શાવેલ વક્ર $y$-અક્ષને $P$ અને $Q$ બિંદુઓ પર છેદે છે જ્યાં $PQ = 5$ હોય, તો $k$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $s, t, r$ એ શૂન્યતર સંકર સંખ્યાઓ છે અને $L$ એ સમીકરણ $sz + t\bar{z} + r = 0$ ના ઉકેલો $z = x + iy$ $(x, y \in \mathbb{R}, i = \sqrt{-1})$ નો ગણ છે,જ્યાં $\bar{z} = x - iy$. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ જો $L$ માં બરાબર એક ઘટક હોય,તો $|s| \neq |t|$
$(B)$ જો $|s| = |t|$,તો $L$ માં અનંત ઘટકો છે
$(C)$ $L \cap \{z : |z - 1 + i| = 5\}$ માં ઘટકોની સંખ્યા વધુમાં વધુ $2$ છે
$(D)$ જો $L$ માં એક કરતા વધુ ઘટક હોય,તો $L$ માં અનંત ઘટકો છે

ધારો કે $C$ એ સંકર સમતલમાં $z_0 = \frac{1}{2}(1 + 3i)$ કેન્દ્ર અને $r = 1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. ધારો કે $z_1 = 1 + i$ અને સંકર સંખ્યા $z_2$ એ વર્તુળ $C$ ની બહાર એવી રીતે છે કે જેથી $|z_1 - z_0| |z_2 - z_0| = 1$ થાય. જો $z_0, z_1$ અને $z_2$ સમરેખ હોય,તો $|z_2|^2$ ની નાની કિંમત $.............$ બરાબર છે.

Argand સમતલમાં,સદિશ $z = 4 - 3i$ ને ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં $180^o$ ફેરવવામાં આવે છે અને ત્રણ ગણું ખેંચવામાં આવે છે. નવા સદિશ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતી સંકર સંખ્યા કઈ છે?