ધારો કે y = y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2$ અને $Q = f(x)$ છે.કિસ્સો $1$: $x \in [0, 1]$ માટે,$f(x) = 1

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{e^2 - 1}{2e^3}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2$ અને $Q = f(x)$ છે.કિસ્સો $1$: $x \in [0, 1]$ માટે,$f(x) = 1$.$\frac{dy}{dx} + 2y = 1$. સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$ છે.ઉકેલ $y \cdot e^{2x} = \int 1 \cdot e^{2x} dx + C_1 = \frac{1}{2}e^{2x} + C_1$ મળે.તેથી,$y(x) = \frac{1}{2} + C_1 e^{-2x}$.$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0 = \frac{1}{2} + C_1 \Rightarrow C_1 = -\frac{1}{2}$.આમ,$x \in [0, 1]$ માટે $y(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2x}$ છે.$x = 1$ આગળ,$y(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2} = \frac{e^2 - 1}{2e^2}$.કિસ્સો $2$: $x > 1$ માટે,$f(x) = 0$.$\frac{dy}{dx} + 2y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{y} = -2 dx$.બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln|y| = -2x + C_2 \Rightarrow y = C_3 e^{-2x}$ મળે.$x = 1$ આગળ $y(x)$ ની સાતત્યતાનો ઉપયોગ કરતા,$y(1) = C_3 e^{-2} = \frac{e^2 - 1}{2e^2}$.$C_3 = \frac{e^2 - 1}{2e^2} \cdot e^2 = \frac{e^2 - 1}{2}$.તેથી,$x > 1$ માટે $y(x) = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-2x}$ છે.$x = \frac{3}{2}$ માટે,$y\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-2(\frac{3}{2})} = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-3} = \frac{e^2 - 1}{2e^3}$.

Similar Questions

ધારો કે $f(x)$ એ અંતરાલ $(0, \infty)$ પર વિકલનીય છે જેથી $f(1)=1$,અને દરેક $x>0$ માટે $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$ છે. તો $f(x)$ શું છે?

વિકલ સમીકરણ $y' = y \tan x - 2 \sin x$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ નો ઉકેલ હોય અને $y(1) = 1$ નું સમાધાન કરતું હોય,તો $y\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો.

જો વક્ર $f(x, y) = 0$ પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ આગળ સબ-ટેન્જન્ટની લંબાઈ $x + 7y^2$ હોય, તો $f(x, y) =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module