વિકલ સમીકરણ $y' = y \tan x - 2 \sin x$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $f: R \to R$ એવું છે કે જેથી તમામ $x, y \in R$ માટે $f(xy) = f(x)f(y)$ અને $f(0) \ne 0$ થાય. ધારો કે $g: [1, \infty) \to R$ એ વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી $x^2 g(x) = \int_1^x (t^2 f(t) - t g(t)) dt$ થાય. તો $g(2)$ ની કિંમત શોધો:

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ નો ઉકેલ હોય અને $y(1) = 1$ નું સમાધાન કરતું હોય,તો $y\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = 2x^2$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

જો $0 < x < \frac{\pi}{2}$ માટે $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6x$ અને $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ હોય,તો $y(\frac{\pi}{6})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f: [1, \infty) \to \mathbb{R}$ એ એક વિકલનીય વિધેય છે જે $f(x) = \int_1^x f(t) \, dt + (1 - x)(\log_e x - 1) + e$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો $f(f(1))$ નું મૂલ્ય શોધો: