ધારો કે f: R to R એવું છે કે જેથી તમામ x, y i | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $f(xy) = f(x)f(y)$ અને $f(0) 
e 0$. કારણ કે $f(0) = f(0 \cdot x) = f(0)f(x)$, અને $f(0) 
e 0$, તેથી તમામ $x \in R$ માટે $f(x) = 1$ થા

Vedclass · Accepted Answer

$15$/$32$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $f(xy) = f(x)f(y)$ અને $f(0) 
e 0$. કારણ કે $f(0) = f(0 \cdot x) = f(0)f(x)$, અને $f(0) 
e 0$, તેથી તમામ $x \in R$ માટે $f(x) = 1$ થાય.આપેલ સંકલન સમીકરણમાં $f(x) = 1$ મૂકતા: $x^2 g(x) = \int_1^x (t^2 - t g(t)) dt$.લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા: $2x g(x) + x^2 g'(x) = x^2 - x g(x)$.પદોને ગોઠવતા: $x^2 g'(x) + 3x g(x) = x^2$.$x^2$ વડે ભાગતા ($x \ge 1$ માટે): $g'(x) + \frac{3}{x} g(x) = 1$.આ $g'(x) + P(x)g(x) = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P(x) = 3/x$ અને $Q(x) = 1$.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int (3/x) dx} = e^{3 \ln x} = x^3$ છે.સામાન્ય ઉકેલ $g(x) \cdot x^3 = \int (1 \cdot x^3) dx = \frac{x^4}{4} + C$ છે.$x = 1$ આગળ, સંકલન $\int_1^1 (t^2 - t g(t)) dt = 0$, તેથી $1^2 g(1) = 0 \implies g(1) = 0$.ઉકેલમાં $x = 1$ મૂકતા: $0 \cdot 1^3 = \frac{1^4}{4} + C \implies C = -1/4$.આમ, $g(x) x^3 = \frac{x^4 - 1}{4}$, જે આપણને $g(x) = \frac{x^4 - 1}{4x^3}$ આપે છે.$x = 2$ માટે, $g(2) = \frac{2^4 - 1}{4(2^3)} = \frac{16 - 1}{4(8)} = \frac{15}{32}$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{2xy}{1 - x^2} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \log x \, dy = (x \log x - y) \, dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1-x^2) \frac{dy}{dx} + xy = kx$ માટે $(-1 < x < 1)$ સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module