ધારો કે $f: [1, \infty) \to \mathbb{R}$ એ એક વિકલનીય વિધેય છે જે $f(x) = \int_1^x f(t) \, dt + (1 - x)(\log_e x - 1) + e$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો $f(f(1))$ નું મૂલ્ય શોધો:

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x^2 - x\sqrt{x^2-1})dy + (y(x - \sqrt{x^2-1}) - x)dx = 0, x \geq 1$ નો ઉકેલ છે. જો $y(1) = 1$ હોય, તો $y(\sqrt{5})$ થી નાનો મહત્તમ પૂર્ણાંક . . . . . . છે.

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એ $f(0)=1$ સાથેનું વિકલનીય વિધેય છે અને તે તમામ $x, y \in R$ માટે સમીકરણ $f(x+y)=f(x) f^{\prime}(y)+f^{\prime}(x) f(y)$ નું પાલન કરે છે. તો,$\log _e(f(4))$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f: [1, \infty) \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(1) = \frac{1}{3}$ અને $3 \int_1^x f(t) dt = x f(x) - \frac{x^3}{3}$,$x \in [1, \infty)$ માટે. તો $f(e)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx}+y \cos x=4x, x \in(0, \pi)$ નો ઉકેલ છે. જો $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલનીય વિધેય $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ માટે,ધારો કે $f^{\prime}(x)=3 f(x)+\alpha$,જ્યાં $\alpha \in \mathbb{R}, f(0)=1$ અને $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=7$. તો $9 f\left(-\log _{e} 3\right)$ ની કિંમત ............ થાય.