ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એ $f(0)=1$ સાથેનું વિકલનીય વિધેય છે અને તે તમામ $x, y \in R$ માટે સમીકરણ $f(x+y)=f(x) f^{\prime}(y)+f^{\prime}(x) f(y)$ નું પાલન કરે છે. તો,$\log _e(f(4))$ ની કિંમત શોધો.

$x \in R$ માટે,ધારો કે $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x^2-5) \frac{dy}{dx} - 2xy = -2x(x^2-5)^2$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(2)=7$ છે. $y(x)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

વિધેય $y=f(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+\frac{xy}{x^2-1}=\frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}}$ નો $(-1,1)$ માં ઉકેલ છે જે $f(0)=0$ નું સમાધાન કરે છે. તો $\int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} f(x) dx$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 4x \csc x$ $(x \neq 0)$ નો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો,જ્યાં $x=\frac{\pi}{2}$ હોય ત્યારે $y=0$ છે.

ધારો કે $f: R \to R$ એવું છે કે જેથી તમામ $x, y \in R$ માટે $f(xy) = f(x)f(y)$ અને $f(0) \ne 0$ થાય. ધારો કે $g: [1, \infty) \to R$ એ વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી $x^2 g(x) = \int_1^x (t^2 f(t) - t g(t)) dt$ થાય. તો $g(2)$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x \cos x) dy + (xy \sin x + y \cos x - 1) dx = 0$,$0 < x < \frac{\pi}{2}$ નો ઉકેલ છે. જો $\frac{\pi}{3} y(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ હોય,તો $|\frac{\pi}{6} y''(\frac{\pi}{6}) + 2 y'(\frac{\pi}{6})|$ ની કિંમત $.........$ છે.