मान लीजिए f: [1, infty) to mathbb{R} एक अवकलन | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $f(x) = \int_1^x f(t) \, dt + (1 - x)(\log_e x - 1) + e$ है।$x = 1$ पर, $f(1) = \int_1^1 f(t) \, dt + (1 - 1)(\log_e 1 - 1) + e =

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$1 + e^e$

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(A) दिया गया समीकरण $f(x) = \int_1^x f(t) \, dt + (1 - x)(\log_e x - 1) + e$ है।$x = 1$ पर, $f(1) = \int_1^1 f(t) \, dt + (1 - 1)(\log_e 1 - 1) + e = 0 + 0 + e = e$.लेबनिज नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$f'(x) = f(x) - 1(\log_e x - 1) + (1 - x)(1/x) = f(x) - \log_e x + 1 + 1/x - 1 = f(x) - \log_e x + 1/x$.इसे रैखिक अवकल समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $f'(x) - f(x) = \frac{1}{x} - \log_e x$.समाकलन गुणक (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int -1 \, dx} = e^{-x}$ है।$e^{-x}$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx}(f(x)e^{-x}) = e^{-x}(\frac{1}{x} - \log_e x)$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $f(x)e^{-x} = \int e^{-x}(\frac{1}{x} - \log_e x) \, dx + C$.गुणधर्म $\frac{d}{dx}(e^{-x} \log_e x) = -e^{-x} \log_e x + e^{-x}/x$ का उपयोग करने पर, हमें $f(x)e^{-x} = e^{-x} \log_e x + C$ प्राप्त होता है।अतः, $f(x) = \log_e x + Ce^x$.चूंकि $f(1) = e$, इसलिए $e = \log_e 1 + Ce^1 \implies e = 0 + Ce \implies C = 1$.इस प्रकार, $f(x) = \log_e x + e^x$.हमें $f(f(1)) = f(e) = \log_e e + e^e = 1 + e^e$ ज्ञात करना है।

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