मान लीजिए $f(x) = x \cos^{-1}(-\sin |x|)$,$x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \frac{x^2-3x-6}{x^2+2x+4}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ $f$ अंतराल $(-2, -1)$ में ह्रासमान है
$(B)$ $f$ अंतराल $(1, 2)$ में वर्धमान है
$(C)$ $f$ आच्छादक (onto) है
$(D)$ $f$ का परिसर $[-\frac{3}{2}, 2]$ है

बहुपद $f(x)=1+2x+3x^2+4x^3$ पर विचार करें। मान लीजिए $s$,$f(x)$ के सभी भिन्न वास्तविक मूलों का योग है और $t=|s|$ है।
$1.$ वास्तविक संख्या $s$ किस अंतराल में स्थित है?
$(A)$ $\left(-\frac{1}{4}, 0\right)$ $(B)$ $\left(-1,-\frac{3}{4}\right)$
$(C)$ $\left(-\frac{3}{4},-\frac{1}{2}\right)$ $(D)$ $\left(0, \frac{1}{4}\right)$
$2.$ वक्र $y=f(x)$ और रेखाओं $x=0, y=0$ तथा $x=t$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल किस अंतराल में स्थित है?
$(A)$ $\left(\frac{3}{4}, 3\right)$ $(B)$ $\left(\frac{21}{64}, \frac{11}{16}\right)$
$(C)$ $(9,10)$ $(D)$ $\left(0, \frac{21}{64}\right)$
$3.$ फलन $f^{\prime}(x)$ है:
$(A)$ $\left(-t,-\frac{1}{4}\right)$ में वर्धमान और $\left(-\frac{1}{4}, t\right)$ में ह्रासमान
$(B)$ $\left(-t,-\frac{1}{4}\right)$ में ह्रासमान और $\left(-\frac{1}{4}, t\right)$ में वर्धमान
$(C)$ $(-t, t)$ में वर्धमान $(D)$ $(-t, t)$ में ह्रासमान
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

यदि $f(x)=\int_0^x e^{t^2}(t-2)(t-3) dt$ सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए है,तो
$(A)$ $f$ का $x=2$ पर स्थानीय उच्चतम मान है
$(B)$ $f$ अंतराल $(2,3)$ में ह्रासमान है
$(C)$ कोई ऐसा $c \in(0, \infty)$ विद्यमान है जिसके लिए $f^{\prime \prime}(c)=0$
$(D)$ $f$ का $x=3$ पर स्थानीय निम्नतम मान है

मान लीजिए $f(x)=2^x-x^2, x \in R$ है। यदि $m$ और $n$ क्रमशः उन बिंदुओं की संख्या हैं जहाँ वक्र $y=f(x)$ और $y=f^{\prime}(x)$,$x$-अक्ष को काटते हैं,तो $m+n$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = 2x + \tan^{-1} x$ और $g(x) = \log_e(\sqrt{1+x^2} + x)$,$x \in [0, 3]$ है। तो: