यदि f(x)=int_0^x e^{t^2}(t-2)(t-3) dt सभी x i | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x)=\int_0^x e^{t^2}(t-2)(t-3) dt$.कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,$f^{\prime}(x)=e^{x^2}(x-2)(x-3)$.क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f

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$(A, B, C, D)$

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(C) दिया गया है $f(x)=\int_0^x e^{t^2}(t-2)(t-3) dt$.कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,$f^{\prime}(x)=e^{x^2}(x-2)(x-3)$.क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f^{\prime}(x)=0$ रखने पर,हमें $x=2$ और $x=3$ प्राप्त होते हैं।$f^{\prime}(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करने पर:$x  0$ (वर्धमान)।$2 $x > 3$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ (वर्धमान)।अतः,$f$ का $x=2$ पर स्थानीय उच्चतम और $x=3$ पर स्थानीय निम्नतम मान है। यह सिद्ध करता है कि $(A), (B)$ और $(D)$ सही हैं।अब,$f^{\prime \prime}(x)$ ज्ञात करते हैं:$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx} [e^{x^2}(x^2-5x+6)] = e^{x^2}(2x)(x^2-5x+6) + e^{x^2}(2x-5) = e^{x^2}(2x^3-10x^2+14x-5)$.माना $g(x) = 2x^3-10x^2+14x-5$ है। चूँकि $g(0) = -5$ और $g(1) = 1$,मध्यवर्ती मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (0, 1)$ विद्यमान है जिसके लिए $g(c) = 0$,अर्थात $f^{\prime \prime}(c) = 0$ है। अतः,$(C)$ भी सही है।इसलिए,सभी विकल्प $(A), (B), (C), (D)$ सही हैं।

List $I$	List $II$
$A. 3x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 6x + 1$	$(I)$ $x = 4$ पर न्यूनतम मान रखता है
$B. x + \frac{1}{x}, \forall x < 0$	$(II)$ $x = -1$ पर अधिकतम मान रखता है
$C. x^4(7 - x)^3$	$(III)$ $x = 4$ पर अधिकतम मान रखता है
$D. x^4 + (8 - x)^4$	$(IV)$ $[2, \infty)$ में ह्रासमान है
	$(V)$ $[2, \infty)$ में वर्धमान है

List-$I$	List-$II$
$(P)$ $n$ का न्यूनतम मान जिसके लिए फलन $f(x)=\left[\frac{10 x^3-45 x^2+60 x+35}{n}\right]$ अंतराल $[1,2]$ पर सतत है	$(1)$ $8$
$(Q)$ $n$ का न्यूनतम मान जिसके लिए $g(x)=\left(2 n^2-13 n-15\right)\left(x^3+3 x\right), x \in R$,$R$ पर एक वर्धमान फलन है	$(2)$ $9$
$(R)$ $5$ से बड़ी वह सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या $n$ जिसके लिए $x=3$,$h(x)=\left(x^2-9\right)^{n}\left(x^2+2 x+3\right)$ का स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है	$(3)$ $5$
$(S)$ $x_0 \in R$ की संख्या जिसके लिए $l(x)=\sum_{k=0}^4\left(\sin \|x-k\|+\cos \left\|x-k+\frac{1}{2}\right\|\right), x \in R$ बिंदु $x_0$ पर अवकलनीय नहीं है	$(4)$ $6$
	$(5)$ $10$

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